Исследовательская математика

Учимся мыслить как математики

Этот курс знакомит учеников с математическим исследованием. Вместо решения только узко сформулированных задач они учатся выяснять, что происходит при изменении условий. Ученики понимают, что математика — это не просто набор готовых методов. Это ещё и процесс эксперимента, наблюдения, выдвижения гипотез, доказательства и уточнения результатов.

На курсе ученики учатся:

• задавать содержательные вопросы «Что, если…?»;
• замечать закономерности и формулировать гипотезы;
• проверять идеи на примерах и контрпримерах;
• систематизировать результаты исследования;
• использовать Desmos, GeoGebra, электронные таблицы и искусственный интеллект;
• отличать экспериментальные наблюдения от строгого доказательства;
• ясно излагать математические выводы;
• превращать элементарные задачи в более глубокие исследования.

Пример исследования
Пять черепах стоят в разных точках числовой прямой, как показано на рисунке. В какой точке им следует встретиться, чтобы суммарное пройденное ими расстояние было наименьшим?

Трудно поверить, но эта задача была предложена на математическом конкурсе «Кенгуру» для четвёртого класса. Можно выбирать различные точки встречи и каждый раз подсчитывать суммарное расстояние. Рано или поздно мы обнаружим, что черепахам следует встретиться в точке с координатой 3. Тогда минимальное суммарное расстояние составит 13 единиц.
Случайно ли минимум достигается в точке, где находится средняя черепаха? На какую закономерность это может указывать?

А теперь зададим вопрос, который превращает обычную задачу в математическое исследование: «Что, если…?»

Что, если черепах будет 3 или 7 (нечётное число)? А если 4 или 6 (чётное число)? А 100 или 101?
Что, если некоторые черепахи начинают движение из одной точки?
Что, если перемещение каждой черепахи имеет разную «стоимость», поэтому некоторые расстояния учитываются с большим весом?
Можно ли переформулировать задачу?
Можно ли использовать Desmos или GeoGebra, чтобы исследовать движение большого количества черепах, а не выполнять все вычисления вручную?
А что изменится, если черепахи будут двигаться не по числовой прямой, а по плоскости?

Одна простая задача может превратиться в полноценное математическое исследование.

Мы можем построить алгебраическую модель задачи. Обозначим через x координату точки, в которой встречаются все черепахи. Согласно рисунку, синяя черепаха пройдёт расстояние |x − (−3)|, зелёная — |x − 1|, оранжевая — |x − 3| и так далее. Суммарное расстояние, пройденное всеми черепахами, задаётся функцией D(x) = |x+3| + |x−1| + |x−3| + |x−4| + |x−7|.
Настало время подключить Desmos или GeoGebra. Посмотрим на график функции D(x), построенный в GeoGebra.

Мы видим, что функция D(x) достигает минимума при x = 3. Следовательно, именно при x = 3 суммарное расстояние оказывается наименьшим, а эта точка является оптимальным местом встречи черепах. Так мы получили новый инструмент математического исследования — графические программы GeoGebra и Desmos.

Теперь посмотрим, что произойдёт, если черепах будет четыре, а не пять. Уберём синюю черепаху, расположенную в точке −3. Тогда
D₁(x) = |x−1| + |x−3| + |x−4| + |x−7|. Ниже приведён график этой функции, построенный в Desmos.

Неожиданно оказывается, что четыре черепахи могут встретиться в любой точке между x = 3 и x = 4: суммарное расстояние везде будет минимальным. Это открывает совершенно новое направление исследования. Теперь у нас есть мощный инструмент, но вместе с ним возникает множество новых вопросов.

На этом я остановлюсь и предложу вам продолжить исследование самостоятельно.

В рамках курса я предлагаю более 20 полноценных математических исследований на различные темы — от доступных вводных задач до действительно сложных и содержательных исследований.

Курс подойдёт:

• любознательным ученикам, которым нравится задавать вопросы;
• школьникам, готовящим математические проекты и исследования;
• сильным ученикам, которым недостаточно стандартных упражнений;
• тем, кто интересуется математическим моделированием и технологиями;
• ученикам, желающим развить самостоятельное математическое мышление.

Теория вероятностей

Понимание случайности, неопределённости и риска

Теория вероятностей — одна из важнейших областей современной математики. Однако во многих школьных программах ей отводится лишь небольшая тема в рамках гораздо более обширного курса. Ученики знакомятся с несколькими стандартными правилами и решают несколько типовых задач, но зачастую не успевают понять, насколько эта дисциплина богата, полезна и широко применима.

Для некоторых учеников теория вероятностей и математическая статистика впоследствии могут стать частью будущей профессии. Они лежат в основе анализа данных, искусственного интеллекта, машинного обучения, актуарной математики, количественных финансов, экономики, анализа рисков, медицинских исследований, инженерии и многих направлений бизнес-аналитики.

Раннее знакомство с предметом позволяет ученику понять, нравится ли ему такой тип мышления, и создаёт прочную основу перед поступлением в университет, где курсы теории вероятностей и статистики обычно проходят в очень быстром темпе.
Курс также служит отличной подготовкой к AP Statistics и дальнейшему изучению математической статистики, анализа данных и стохастических моделей.

Мы изучаем основные темы стандартного курса теории вероятностей, однако программа не ограничивается запоминанием формул и решением типовых упражнений. Ученики разбирают большое количество разнообразных задач, сравнивают различные методы, исследуют неожиданные результаты и учатся распознавать вероятностные структуры в незнакомых ситуациях.

Особое внимание уделяется тщательно составленным олимпиадным и конкурсным задачам, включая задания AMC. Такие задачи часто отличаются изяществом, неожиданностью и большей математической глубиной по сравнению с обычными упражнениями из учебника. Они развивают комбинаторное мышление, логику, математическую интуицию и умение самостоятельно строить решение, когда готовый метод не очевиден.

Мы также исследуем связи теории вероятностей с другими областями математики. Например, в финансовой математике будущий платёж не всегда гарантирован. Если учесть вероятность того, что платёж действительно состоится, задачи об ожидаемой стоимости, риске, страховании, инвестициях и финансовых решениях становятся гораздо реалистичнее и интереснее.

Глубина курса зависит от возраста и математической подготовки ученика. Младшие школьники могут начать с игр, монет, игральных кубиков, комбинаторики и компьютерных симуляций. Более подготовленные ученики постепенно переходят к условной вероятности, случайным величинам, математическому ожиданию, распределениям и приложениям математической статистики.

Финансовая математика

Математика для личных финансов и инвестиционных решений

Финансовая математика связывает школьный курс с решениями, которые ученикам и взрослым приходится принимать в реальной жизни.
Курс знакомит с математикой сбережений, кредитования, инвестирования и сравнения финансовых альтернатив. Ученики учатся не только применять формулы, но и правильно интерпретировать финансовую информацию и понимать предположения, лежащие в основе расчётов.

Курс даёт математическую и образовательную основу. Он не содержит персональных инвестиционных рекомендаций и не предлагает конкретные финансовые продукты.

Темы курса:

• проценты и процентные изменения;
• простые и сложные проценты;
• инфляция и покупательная способность денег;
• планы накоплений;
• кредиты и графики их погашения;
• эффективные и номинальные процентные ставки;
• текущая и будущая стоимость денег;
• аннуитеты;
• ипотечные кредиты;
• акции и дивиденды;
• облигации и определение их стоимости;
• доходность инвестиций;
• риск и диверсификация;
• использование финансового калькулятора и электронных таблиц.

Бесплатное приложение BA Financial Calculator — один из основных инструментов, которые мы используем на курсе:

Ниже приведены примеры задач из курса. Они показывают широту и глубину рассматриваемых тем.

#1. Магазин объявил, что во время распродажи все товары продаются за половину первоначальной цены. Кроме того, купон даёт дополнительную скидку 20% от распродажной цены. Какой процент от первоначальной стоимости заплатит покупатель, воспользовавшийся купоном?

#2. Годовая ставка сложных процентов составляла 13% в 2014 году, 11% в 2015 году и 15% в 2016 году. Найдите постоянную эффективную годовую ставку сложных процентов, которая обеспечила бы такую же доходность за весь трёхлетний период.

#3. Банк предлагает кредит на три года с ежеквартальным начислением процентов и кредит на два года с ежемесячным начислением процентов. В обоих случаях номинальная годовая процентная ставка составляет 20%. Какой кредит выгоднее для компании? Сравните эффективные годовые ставки в обоих случаях.

#4. Вы приобрели небольшой магазин вместе со всем оборудованием за 50 000 долларов. Ожидается, что через год магазин принесёт прибыль 10 000 долларов, через два года — 12 000 долларов, через три года — 15 000 долларов, через четыре года — 20 000 долларов, а через пять лет — 25 000 долларов. Определите:
a) когда окупятся первоначальные вложения в магазин;
б) какую доходность обеспечит магазин за пятилетний период;
в) будущую стоимость полученной прибыли при банковской процентной ставке 12%;

г) приведённую стоимость прибыли на момент покупки.

#5. Ссуда в размере 60 000 долларов выдана под 6% годовых и погашается ежеквартальными платежами по 8 000 долларов. Определите срок полного погашения ссуды.

#6. Составьте график погашения ссуды в размере 5 000 долларов равными ежегодными платежами в течение четырёх лет при ставке 9% годовых. Как изменится общая сумма выплаченных процентов, если ежегодно выплачивать только проценты, а основной долг погасить одним платежом в конце срока?

#7. Облигация номинальной стоимостью 100 000 тенге выпущена на 14 лет и имеет купонную ставку 8% с ежеквартальной выплатой процентов. Облигация продаётся по цене 92 000 тенге. Какова её номинальная годовая доходность?

#8. Карл ван Лун участвует в викторине с вопросами типа «верно или неверно». Вопросы сложные и незнакомые, поэтому Карлу приходится отвечать наугад. Если он правильно ответит на все пять вопросов, то получит 2 000 евро, а за четыре правильных ответа — 400 евро. Участие в игре стоит 100 евро. Выгодно ли Карлу участвовать в такой игре?

#9. Какую сумму вы согласились бы дать человеку сегодня, если он обещает выплачивать вам по 30 000 тенге в конце каждого месяца в течение двух лет, но при этом в каждом месяце существует вероятность 5%, что он полностью прекратит выплаты? Вы хотите получить доходность 13%. Какое важное условие должно выполняться, чтобы сделанные выводы были верными?

#10. Дон Хорхе Вальдано приобретает облигации, выпущенные его давними соперниками — «Барселоной». Доходность облигации в момент покупки составляла 19%. Однако условия выпуска допускают досрочный выкуп облигации эмитентом, в результате чего доходность снизится до 8%. Вероятность досрочного выкупа составляет 40%. У самого дона Хорхе есть возможность продать облигацию до её выкупа «Барселоной» и получить доходность 15%. Следует ли ему воспользоваться этой возможностью?