Эта задача была предложена на математическом конкурсе «Кенгуру» для четвёртого класса. Можно выбирать различные точки встречи и каждый раз подсчитывать суммарное расстояние. Рано или поздно мы обнаружим, что черепахам следует встретиться в точке с координатой 3. Тогда минимальное суммарное расстояние составит 13 единиц.
Случайно ли минимум достигается в точке, где находится средняя черепаха? На какую закономерность это может указывать?

А теперь зададим вопрос, который превращает обычную задачу в математическое исследование: «Что, если…?»

Что, если черепах будет 3 или 7 (нечётное число)? А если 4 или 6 (чётное число)? А 100 или 101?
Что, если некоторые черепахи начинают движение из одной точки?
Что, если перемещение каждой черепахи имеет разную «стоимость», поэтому некоторые расстояния учитываются с большим весом?
Можно ли переформулировать задачу?
Можно ли использовать Desmos или GeoGebra, чтобы исследовать движение большого количества черепах, а не выполнять все вычисления вручную?
А что изменится, если черепахи будут двигаться не по числовой прямой, а по плоскости?

Одна простая задача может превратиться в полноценное математическое исследование.

Мы можем построить алгебраическую модель задачи. Обозначим через x координату точки, в которой встречаются все черепахи. Согласно рисунку, синяя черепаха пройдёт расстояние |x − (−3)|, зелёная — |x − 1|, оранжевая — |x − 3| и так далее. Суммарное расстояние, пройденное всеми черепахами, задаётся функцией D(x) = |x+3| + |x−1| + |x−3| + |x−4| + |x−7|.
Настало время подключить Desmos или GeoGebra. Посмотрим на график функции D(x), построенный в GeoGebra.

Мы видим, что функция D(x) достигает минимума при x = 3. Следовательно, именно при x = 3 (положение серединной черепахи) суммарное расстояние оказывается наименьшим, а эта точка является оптимальным местом встречи черепах. Так мы получили новый инструмент математического исследования — графические программы GeoGebra и Desmos.

Теперь посмотрим, что произойдёт, если черепах будет четыре, а не пять. Уберём синюю черепаху, расположенную в точке −3. Тогда
D₁(x) = |x−1| + |x−3| + |x−4| + |x−7|. Ниже приведён график этой функции, построенный в Desmos.

Неожиданно оказывается, что четыре черепахи могут встретиться в любой точке между x = 3 и x = 4: суммарное расстояние везде будет минимальным. Это неожиданное открытие! Теперь у нас есть мощный инструмент исследования, но вместе с этим возникает множество вопросов.

На этом я остановлюсь и предложу вам продолжить исследование самостоятельно.

В рамках курса я предлагаю более 20 полноценных математических исследований на различные темы — от довольно несложных до действительно глубоких.

Курс подойдёт:

• любознательным ученикам, которым нравится задавать вопросы;
• школьникам, готовящим математические проекты и исследования;
• сильным ученикам, которым недостаточно стандартных упражнений;
• тем, кто интересуется математическим моделированием и технологиями;
• ученикам, желающим развить самостоятельное математическое мышление.

Теория вероятностей

Понимание случайности, неопределённости и риска

Теория вероятностей — одна из важнейших областей современной математики. Однако во многих школьных программах ей отводится лишь небольшая тема в рамках гораздо более обширного курса. Ученики знакомятся с несколькими стандартными правилами и решают несколько типовых задач, но зачастую не успевают понять, насколько эта дисциплина полезна и широко применима.

Для некоторых учеников теория вероятностей и математическая статистика впоследствии могут стать частью будущей профессии. Они лежат в основе анализа данных, искусственного интеллекта, машинного обучения, актуарной математики, количественных финансов, экономики, анализа рисков, медицинских исследований, инженерии и многих направлений бизнес-аналитики.

Раннее знакомство с предметом позволяет ученику понять, нравится ли ему такой тип мышления, и создаёт прочную основу перед поступлением в университет, где курсы теории вероятностей и статистики обычно проходят в очень быстром темпе.
Курс также служит отличной подготовкой к AP Statistics и дальнейшему изучению математической статистики, анализа данных и стохастических моделей.

Мы изучаем основные темы стандартного курса теории вероятностей, однако программа не ограничивается запоминанием формул и решением типовых упражнений. Ученики разбирают большое количество разнообразных задач, сравнивают различные методы, исследуют неожиданные результаты и учатся распознавать вероятностные структуры в незнакомых ситуациях.

Особое внимание уделяется тщательно составленным олимпиадным и конкурсным задачам, включая задания AMC. Такие задачи часто отличаются изяществом, неожиданностью и большей математической глубиной по сравнению с обычными упражнениями из учебника. Они развивают комбинаторное мышление, логику, математическую интуицию и умение самостоятельно строить решение, когда готовый метод не очевиден.

Мы также исследуем связи теории вероятностей с другими областями математики. Например, в финансовой математике будущий платёж не всегда гарантирован. Если учесть вероятность того, что платёж действительно состоится, задачи об ожидаемой стоимости, риске, страховании, инвестициях и финансовых решениях становятся гораздо реалистичнее и интереснее.

Глубина курса зависит от возраста и математической подготовки ученика. Младшие школьники могут начать с игр, монет, игральных кубиков, комбинаторики и компьютерных симуляций. Более подготовленные ученики постепенно переходят к условной вероятности, случайным величинам, математическому ожиданию, распределениям и приложениям математической статистики.

Ниже приведены примеры задач из курса. Они демонстрируют широту и глубину рассматриваемых тем.

#1. Магазин объявил, что во время распродажи товары продаются за половину цены. Кроме того, купон даёт дополнительную скидку 20% от цены распродажи. Какой процент от первоначальной стоимости заплатит покупатель, воспользовавшийся купоном?

#2. Годовая ставка сложных процентов составляла 13% в 2014 году, 11% в 2015 году и 15% в 2016 году. Найдите постоянную эффективную годовую ставку сложных процентов, которая обеспечила бы такую же доходность за весь трёхлетний период.

#3. Банк предлагает кредит на три года с ежеквартальным начислением процентов и кредит на два года с ежемесячным начислением процентов. В обоих случаях номинальная годовая процентная ставка составляет 20%. Какой кредит выгоднее для компании? Сравните эффективные годовые ставки в обоих случаях.

#4. Вы приобрели небольшой магазин вместе со всем оборудованием за 50 000 долларов. Ожидается, что через год магазин принесёт прибыль 10 000 долларов, через два года — 12 000 долларов, через три года — 15 000 долларов, через четыре года — 20 000 долларов, а через пять лет — последние 25 000 долларов. Определите:
a) когда окупятся первоначальные вложения в магазин;
б) какую доходность обеспечит магазин за пятилетний период;
в) будущую стоимость полученной прибыли при банковской процентной ставке 12%;

г) приведённую стоимость прибыли на момент покупки.

#5. Ссуда в размере 60 000 долларов выдана под 6% годовых и погашается ежеквартальными платежами по 8 000 долларов. Определите срок полного погашения ссуды.

#6. Составьте график погашения ссуды в размере 5 000 долларов равными ежегодными платежами в течение четырёх лет при ставке 9% годовых. Как изменится общая сумма выплаченных процентов, если ежегодно выплачивать только проценты, а основной долг погасить одним платежом в конце срока?

#7. Облигация номинальной стоимостью 100 000 тенге выпущена на 14 лет и имеет купонную ставку 8% с ежеквартальной выплатой процентов. Облигация продаётся по цене 92 000 тенге. Какова её номинальная годовая доходность?

#8. Карл ван Лун участвует в викторине с вопросами типа «верно или неверно». Вопросы сложные и незнакомые, поэтому Карлу приходится отвечать наугад. Если он правильно ответит на все пять вопросов, то получит 2 000 евро, а за четыре правильных ответа — 400 евро. Участие в игре стоит 100 евро. Выгодно ли Карлу участвовать в такой игре?

#9. Какую сумму вы согласились бы дать человеку сегодня, если он обещает выплачивать вам по 30 000 тенге в конце каждого месяца в течение двух лет, но при этом в каждом месяце существует вероятность 5%, что он полностью прекратит выплаты? Вы хотите получить доходность 13%. Какое важное условие должно выполняться, чтобы сделанные выводы были верными?

#10. Дон Хорхе Вальдано приобретает облигации, выпущенные его давними соперниками — «Барселоной». Доходность облигации в момент покупки составляла 19%. Однако условия выпуска допускают досрочный выкуп облигации эмитентом, в результате чего доходность снизится до 8%. Вероятность досрочного выкупа составляет 40%. У самого дона Хорхе есть возможность продать облигацию до её выкупа «Барселоной» и получить доходность 15%. Следует ли ему воспользоваться этой возможностью?